Теоретические основы

Метод конечных элементов

Вернуться на главную

Метод конечных элементов (МКЭ) применяется для прогноза поведения объекта при воздействии на него внешних нагрузок.

Суть метода конечных элементов (МКЭ) заключается в разбиении реального объекта на маленькие кубы или пирамиды, связанные между собой. Их называют конечными элементами. Поведение каждого элемента описывается с помощью математических функций, в которые также входят свойства самого элемента.

Основной смысл, который закладывается в слово «конечный», состоит в том, что при решении задачи с помощью МКЭ выполняется переход от бесконечного числа степеней свободы к конечной. Таким образом реальный объект превращается в дискретную систему. Дискретная система описывается точным количеством уравнений. После решения системы уравнений, можно получить общую картину поведения объекта в зависимости от приложенных на него нагрузок.

Основы МКЭ

Узлы и элементы

Узел – это точка в координатном пространстве, в котором заданы степени свободы. Степени свободы описывают возможности узла для перемещения или вращения. Помимо этого, наличие или отсутствие определенных степеней свободы указывает на возможность применения тех или иных нагрузок.

Элемент – это математическая зависимость, которая показывает каким образом степени свободы одного узла влияют на другой узел. Элементы могут быть линейными (балки, канаты), 2D/3D поверхности или твердотельные элементы. Математические уравнения, заложенные в различные типы элементов показывают, каким образом формируются перемещения и деформации.

Степени свободы

  • Степени свободы узла характеризуют силы реакции от нагрузок и описывают возможные перемещения узла.
  • Использование определенных типов элементов характеризует, какие именно степени свободы существуют для узла.
  • Некоторые типы анализа допускают наличие лишь одной степени свободы в узле, например, тепловой анализ.

На рисунке 1 представлен узел балочного элемента с указанными степенями свободы. Латинской буквой T обозначены поступательные степени свободы, буквой R – вращательные.

Рис. 1. Узел балочного элемента

Связь между элементами

Передача перемещений между элементами осуществляется при выполнении одного из следующих условий:

  • Элементы связаны между собой общими узлами.
  • Задано контактное взаимодействие между элементами.

На рисунке 2 представлено 2 случая передачи и отсутствия передачи перемещения через узлы элементов

Рис.2. Связь между элементами

Как правило, в современных расчетных комплексах существует автоматическая функция связывания элементов между частями детали или сборки. Помимо этого жесткую связь обеспечивает настройка контактного взаимодействия: по умолчанию задана жесткая связь, и деталь при этом считается монолитной. Это помогает ускорить процесс создания структурированной сетки см. рисунок ниже. 

Рис. 3. Связь между элементами различных частей детали

Типы элементов Autodesk Simulation Mechanical

Актуальные степени свободы узлов зависят от типа используемого элемента. Узел с поступательными степенями свободы может перемещаться и передавать усилия в направлении соответствующих координатных осей. Узел с вращательными степенями свободы может поворачиваться и передавать моментные нагрузки вокруг соответствующих осей.

Классификация типов элементов:

  1. Линейные элементы (Beam, Truss, Rod). Линейные элементы представляют собой линию, соединяющую два узла (фермы, балки).
  2. 2D элементы. Квадратные или треугольные элементы, которые используются только в плоскости YZ
  3. 3D поверхности или оболочки (Membrane, Plate). Элементы оболочек или пластин находятся в 3D пространстве и могут быть, как и треугольными, так и квадратными. Для данного типа необходимо задавать толщину.
  4. Твердотельные элементы (Solid). Твердотельные элементы разбивают деталь на различные объемы с 4, 5, 6 гранями. Количество узлов в элементе может быть больше 4.

Для каждого типа элемента доступны следующие степени свободны:

  1. Truss. Перемещения в направлении осей X, Y, Z
  2. Beam. Перемещения и вращения вокруг осей X, Y, Z
  3. 2-D. Перемещения в направлении осей Y и Z
  4. Plate. 5 степеней свободы, антиплоская деформация не поддерживается
  5. Brick. Перемещения в направлении осей X, Y, Z

Алгоритм решения задач в Autodesk Simulation Mechanical.

Работа в среде Autodesk Simulation Mechanical включает следующую последовательность обязательных действий:

  1. Запустить Autodesk Simulation Mechanical.
  2. Импортировать модель в редактор для подготовки к анализу (FEA Editor).
  3. Создать сетку конечных элементов в Autodesk Simulation Mechanical:

3.1.    Выбрать тип анализа.

3.2.    Создайте сетку конечных элементов.

  1. Определить данные для анализа:

4.1.    Задать свойства материала.

4.2.    Задать граничные условия и нагрузки.

4.3.    Настроить решатель.

  1. Запустить решение задачи.
  2. Обзор результатов

6.1.    Создать изображение.

6.2.    Создать отчет.

Используемые законы механики

В общем случае использование МКЭ сводится к разрешению системы дифференциальных уравнений относительно перемещений. В более упрощенном виде набор уравнения выглядит следующим образом:




Где: σ – напряжение, F – нагрузка, A – площадь сечения, L – длина, ε – деформация, δ – перемещение, E – модуль упругости или модуль Юнга.

Взаимосвязи между свойствами материала, нагрузками и граничными условиями, а также необходимость неразрывного решения, обеспечивает следующее матричное уравнение:

 Где {F} – вектор приложенных нагрузок, [K] – матрица жесткости элементов, {x} – вектор перемещений

В данном матричном уравнении неизвестным является вектор перемещений, поэтому, если умножить слева обе части уравнения на [K]-1, то получим окончательное уравнение, которое и необходимо решить:

Рассматривая различные задачи, можно отметить, что наиболее просты для решения задачи с линейными зависимостями между свойствами материала. Например, взаимосвязь между напряжениями и деформациями, которая называется законом Гука. Существенное усложнение в решения задач вносят следующие условия:

  • Геометрическая нелинейность, которая возникает при больших перемещениях и деформациях.
  • Сочетание различных материалов с различными свойствами.
  • Физическая нелинейность, которая характерна при расчетах эластоупругих или гиперэластичных материалов.
  • Сочетание различных нагрузок.
  • Динамика.
  • Наличие контактного взаимодействия.

На практике же прямое решение матричного уравнения является очень ресурсоемким, а в иных случаях даже невозможным, поэтому были разработаны различные алгоритмы и методы для решения подобных уравнений. Соответственно, чем совершеннее данные методы, тем более точные результаты получаются.

На точность решения влияют также различные методы аппроксимаций, которые применяются при решении дифференциальных уравнений, и размерность сетки конечных элементов. Чем меньше размер конечного элемента, тем точнее результат будет. Однако при формировании сетки конечных элементов пользователь должен руководствоваться не только желанием получить наиболее точные результаты, но и оценивать собственные вычислительные мощности и тип задачи, которую он решает. Зачастую нет никакого смысла дробить весь исследуемый объект на мелкие элементы, достаточно создать лишь локальные сгущения в определенных областях.

Для динамических типов анализа, в которых необходимо учитывать инерционные характеристики исследуемого объекта, используется следующее уравнение:

Где [m] – матрица масс, [c] – матрица коэффициентов демпфирования, ,  – ускорение и скорость (вторые и первые производные перемещения по времени)

Для решения задач, связанных с теплопроводностью и распределением температур по объему, используется следующее выражение:

Где q – тепловой поток, k – коэффициент теплопроводности, ΔT – разница температур, L – длина, A – площадь. Помимо задач теплопроводности существуют также задачи передачи тепла. Передача тепла может осуществляться с помощью конвекции, либо с помощью излучательной способности материалов.

Для конвективного теплообмена справедлива следующая формула:

Где h – коэффициент тепло, h – коэффициент теплоотдачи, Ts – температура поверхности, T - температура среды.

Для теплообмена с учетом радиации существует используется такое выражение:

Где ε – коэффициент степени способности, σ – константа Стефана-Больцмана, φ - коэффициент, учитывающий взаимное расположение тел, кривизну поверхностей, с которых происходит излучение.